互斥事件与独立事件 - 知识点总结与练习题
互斥事件 (Mutually Exclusive Events)：两个事件不能同时发生。
韦恩图表示：互斥事件在韦恩图中表示为不相交的区域。
独立事件 (Independent Events)：一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
互斥事件：不能同时发生，\(P(A \cap B) = 0\)
独立事件：一个事件的发生不影响另一个事件，\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
重要区别：
题目：一个袋子中有5个红球、3个蓝球和2个绿球。随机抽取一个球。设事件 \(A\) 为"抽到红球"，事件 \(B\) 为"抽到蓝球"。
a) 判断事件 \(A\) 和 \(B\) 是否互斥
b) 计算 \(P(A \cup B)\)
总共有 \(5 + 3 + 2 = 10\) 个球。
题目：掷两枚公平的骰子。设事件 \(A\) 为"第一枚骰子得到偶数"，事件 \(B\) 为"第二枚骰子得到奇数"。
a) 判断事件 \(A\) 和 \(B\) 是否独立
b) 计算 \(P(A \cap B)\)
每枚骰子有6个可能的结果，所以总共有 \(6 \times 6 = 36\) 种可能的结果。
一个标准的扑克牌中随机抽取一张牌。设事件 \(A\) 为"抽到红桃"，事件 \(B\) 为"抽到方块"，事件 \(C\) 为"抽到面值为J"。
a) 判断事件 \(A\) 和 \(B\) 是否互斥，并解释原因。
b) 判断事件 \(A\) 和 \(C\) 是否独立，并解释原因。
c) 计算 \(P(A \cup B)\) 和 \(P(A \cap C)\)。
答题区域：
一个盒子中有4个红球和6个蓝球。随机抽取两个球（不放回）。设事件 \(A\) 为"第一个球是红色"，事件 \(B\) 为"第二个球是蓝色"。
a) 计算 \(P(A)\) 和 \(P(B)\)。
b) 计算 \(P(A \cap B)\)。
c) 判断事件 \(A\) 和 \(B\) 是否独立，并解释原因。
答题区域：
标准扑克牌有52张，其中红桃13张，方块13张，每种花色有1张J。
a) 事件 \(A\)："抽到红桃"，\(P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
事件 \(B\)："抽到方块"，\(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
一张牌不可能同时是红桃和方块，所以 \(A \cap B = \emptyset\)，\(P(A \cap B) = 0\)
因此，事件 \(A\) 和 \(B\) 是互斥的。
b) 事件 \(C\)："抽到面值为J"，\(P(C) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
\(A \cap C\) 表示"抽到红桃J"，\(P(A \cap C) = \frac{1}{52}\)
如果 \(A\) 和 \(C\) 是独立的，则应有 \(P(A \cap C) = P(A) \times P(C) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52}\)
由于 \(P(A \cap C) = P(A) \times P(C)\)，所以事件 \(A\) 和 \(C\) 是独立的。
c) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{2}\)
\(P(A \cap C) = \frac{1}{52}\)
盒子中共有 \(4 + 6 = 10\) 个球。
a) 事件 \(A\)："第一个球是红色"，\(P(A) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
事件 \(B\)："第二个球是蓝色"
这里需要考虑总体概率：\(P(B) = P(B|A) \times P(A) + P(B|A') \times P(A')\)
\(P(B|A)\) 表示"在第一个球是红色的条件下，第二个球是蓝色的概率" \(= \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)
\(P(B|A')\) 表示"在第一个球是蓝色的条件下，第二个球是蓝色的概率" \(= \frac{5}{9}\)
\(P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\)
所以 \(P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} + \frac{5}{9} \times \frac{3}{5} = \frac{4}{15} + \frac{5}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\)
b) \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{15}\)
c) 如果 \(A\) 和 \(B\) 是独立的，则应有 \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{25}\)
但实际上 \(P(A \cap B) = \frac{4}{15} \neq \frac{6}{25}\)，所以事件 \(A\) 和 \(B\) 不是独立的。
这是因为在不放回的抽样中，第一次抽取的结果会影响第二次抽取的概率分布。